Потоки Эрланга

Потоки Эрланга

Потоки Эрланга также являются потоками с ограниченным последействием. Они образуются просеиванием простейшего потока.
Суть этого просеивания состоит в следующем. Если изобразить на временной оси простейший поток, поставив в соответствие каждому событию некоторую точку, и выбросить из потока каждую вторую точку, то получим поток Эрланга первого порядка. Оставив каждую третью точку и выбросив две промежуточные, получаем поток Эрланга второго порядка и т.д.
Определение. Потоком Эрланга k - порядка называется поток, получаемый из простейшего, если сохранить в простейшем потоке каждую (k + 1) - ю точку, а остальные выбросить.
Очевидно, что простейший поток может рассматриваться как поток Эрланга нулевого порядка.
Пусть имеется простейший поток с интервалами Т1, Т2, … между событиями. Величина Т - промежуток времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k - го порядка.
Очевидно, что .
Так как первоначальный поток - простейший, то случайные величины Т1, Т2, … распределены по показательному закону:
Обозначим fk(t) плотность распределения величины Т для потока Эрланга k - го порядка. Если умножить эту плотность на элементарный отрезок времени dt, мы получим вероятность того, что величина Т примет значение в некоторой сколь угодно малой окрестности точки t- (t, t + dt). На этот участок должна попасть конечная точка промежутка, а предыдущие k точек простейшего потока - на промежуток (0, t).
Вероятность первого события равна ldt, а второго - .
Эти события должны осуществиться совместно, значит, их вероятности надо перемножить
Полученный закон распределения называется законом распределением Эрланга k-го порядка.
При k = 0 получаем показательный закон распределения.
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение для распределения Эрланга находятся по формулам:
Плотность потока Эрланга равна
Для промежутка времени между двумя соседними событиями в потоке Т рассмотрим нормированную величину .
Такой поток будет называться нормированным потоком Эрланга.
Закон распределения для такого потока будет иметь вид:
вид
Получается, что неограниченном увеличении k нормированный поток Эрланга приближается к регулярному потоку с постоянными интервалами, равными 1/l.
Изменение порядка нормированного потока Эрланга позволяет получить различную степень последействия. Последействие возрастает с увеличением k.
На практике это удобно для приближенного представления реального потока с каким - либо последействием потоком Эрланга. При этом порядок этого потока определяется из того соображения, чтобы характеристики потока Эрланга (математическое ожидание и дисперсия) совпадали с характеристиками исходного потока.

Цепи Маркова
(Андрей Андреевич Марков (1856-1922) - русский математик, академик)

Определение. Процесс, протекающий в физической системе, называется марковским, если в любой момент времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в текущий момент и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.
Определение. Цепью Маркова называется последовательность испытаний, в каждом из которых появляется только одно из k несовместных событий Ai из полной группы. При этом условная вероятность pij(s) того, что в s -ом испытании наступит событие Aj при условии, что в (s - 1) -ом испытании наступило событие Ai, не зависит от результатов предшествующих испытаний.
Независимые испытания являются частным случаем цепи Маркова. События называются состояниями системы, а испытания - изменениями состояний системы.
По характеру изменений состояний цепи Маркова можно разделить на две группы.
Определение. Цепью Маркова с дискретным временем называется цепь, изменение состояний которой происходит в определенные фиксированные моменты времени. Цепью Маркова с непрерывным временем называется цепь, изменение состояний которой возможно в любые случайные моменты времени.
Определение. Однородной называется цепь Маркова, если условная вероятность pij перехода системы из состояния i в состояние j не зависит от номера испытания. Вероятность pij называется переходной вероятностью.